Il problema di Monty Hall: Capre e Automobili (SCIENZA) ~ di Alessandro Giuliani - TeclaXXI

 

SCIENZA

 

Alessandro Giuliani

 

Il problema di Monty Hall: Capre e Automobili

 

                                             immagine creata da Jacqueline Spaccini©2025

  Di ritorno dalla pausa estiva (con molti lettori che spero per loro si trovino ancora in vacanza), mi sembra adatto al periodo un breve intervento sul lato ‘curioso e inaspettato’ della scienza. L’idea è quella di abbandonare le malefatte di una tecno-scienza arrogante e senza anima e goderci qualcosa che ci faccia capire come possiamo entrare nel gioco con la nostra intuizione. Il campo della probabilità riesce spesso a far giocare ad armi pari ‘barbe di professori’ e chi di scienza non si è mai occupato (anzi a volte con un lieve vantaggio per gli ‘incolti’).

Ecco allora servito un caso, a mio avviso, godibilissimo.

“Ma mi faccia il piacere … se non lo so io che sono un professore, allora chi lo dovrebbe sapere?’ Questo era più o meno il tono delle circa diecimila lettere (tra cui quelle di molti matematici accademici) che, nel 1990, arrivarono alla geniale Marilyn vos Savant, responsabile della rubrica ‘Ask Marylin’ del Parade magazine, una rivista molto diffusa negli Stati Uniti. Il tema di tante inviperite lettere di protesta era la risposta (che, come vedremo, era giusta, ma che tanti professori non ebbero l’umiltà di controllare) al cosiddetto ‘Problema di Monty Hall’ (la lettrice e il lettore più accaniti troveranno una descrizione del problema molto più completa e profonda della mia e che arriva a scandagliare aspetti molto profondi del gioco, consultando questo sito: https://it.wikipedia.org/wiki/Problema_di_Monty_Hall) che Marilyn aveva fornito a un lettore della sua rubrica che le aveva chiesto: ‘ Supponi di essere in un gioco televisivo (il lettore si riferiva a un gioco portato avanti effettivamente per vari anni nella serie televisiva ’Let’s Make a Deal’), e di dover scegliere tra tre porte. Dietro una porta si nasconde un’automobile, dietro le altre due una capra e tu potrai portare a casa quello che c’è dietro la porta scelta. Tu bussi alla porta numero 1 (ma non la apri), e il conduttore, che sa cosa c’è dietro ogni porta (e che naturalmente fa in modo di non svelare il gioco, e questo è aspetto fondamentale, oltre al fatto piuttosto ovvio che si preferisca vincere un’auto piuttosto che una capra) apre un’altra porta, diciamo la porta numero 3, dietro la quale c’è una capra. Il conduttore a questo punto ti chiede: ‘Vuoi cambiare porta?’. La domanda allora è: ‘Secondo te, è meglio cambiare (e quindi aprire la porta 2 invece della 1) oppure è meglio mantenere la scelta iniziale?’

Marylin vos Savant rispose che conveniva sempre cambiare, perché le probabilità di vincere l’auto salivano a 2/3…da qui il putiferio di accademici indignati. Tutte le lettere dicevano che era assolutamente identico tenere la 1 o cambiarla per la 2 e che si stupivano come qualcuno potesse sostenere il contrario, essendo la situazione era così chiara.

Ma forse tanto chiara non era …. vediamo di capirci qualcosa. Il lettore amante di rompicapi può a questo punto interrompere per un po’ la lettura e ragionarci in proprio. Gli altri mi seguiranno in una semplice ricostruzione della situazione.

Nella fase 1 il concorrente sceglie una porta: ogni sua scelta a questo punto è equivalente visto che in questa prima fase il premio (automobile) ha probabilità pari a 1/3 di essere scelto.

Nella fase 2 il conduttore mostra una capra, questo può avvenire con tre modalità equiprobabili:

a.    Se il concorrente ha scelto la capra 1 mostra la capra 2.

b.   Se il concorrente ha scelto la capra 2 mostra la capra 1.

c.    Se il concorrente ha scelto l’auto, il conduttore può scegliere se mostrare la capra 1 o la capra 2.

Come si vede esistono due modalità (a e b) in cui al concorrente conviene cambiare la sua scelta e una sola modalità (c) in cui al concorrente conviene mantenere la sua scelta immutata.

In altre parole, la porta ‘mancante’ quella, cioè, che né il concorrente ha selezionato nella prima fase del gioco, né il presentatore ha aperto per mostrare la capra, ha due possibilità di vincere su tre, ed è quindi sicuramente da preferire.  Se volete divertirvi un po’ e osservare il fenomeno con i vostri occhi potreste provare a  eseguire una simulazione del gioco scegliendo varie strategie,  (https://www.mathwarehouse.com/monty-hall-simulation-online/) vedrete che dopo un po’ di oscillazioni la strategia di cambiare porta si attesta al 66.67% circa delle vincite (pari appunto a 2/3).

Ora, il problema è in effetti arguto e si risolve solo arrivando a una diversa formulazione della situazione, passando cioè dal punto di vista delle porte a quello del comportamento del conduttore che IN OGNI CASO ci mostrerà una capra, introducendo così un’anomalia nell’informazione da cui noi possiamo trarre delle conclusioni.

Ciò che trovo molto importante come argomento di meditazione è che ancora ai nostri giorni esistano temi in cui la ‘gente comune’ può cimentarsi ad armi pari con i matematici, in cui, cioè, esiste spazio per la libera critica delle scienze da parte del pubblico, all’interno stesso della struttura argomentativa e non in termini di conseguenze sociali.

Insomma, un bell’esempio di come i fondamenti del pensiero siano ancora lì, alla portata di tutti, se appena ci si prenda la briga di calarli in una situazione pratica e comprensibile (le regole del gioco). Questo è in fin dei conti il contributo culturale della scienza di base. Sapere che esistono temi matematici di punta ancora aperti al contributo del non esperto è una grande consolazione per l’anima. 

ALESSANDRO GIULIANI

BIONOTA  Alessandro Giuliani vive a Roma, è sposato e padre di due figlie. Attualmente è Dirigente di Ricerca presso l’Istituto Superiore di Sanità.

È stato visiting professor all’Università Keio di Tokio, all’Istituto Indiano di Tecnologia (IIT) a Trivandrum (Kerala), all’Università di Chicago (USA) e all’Università di Tomsk (Federazione Russa).

Lavora da circa quaranta anni alla costruzione di modelli fisico-matematici di sistemi biologici complessi con particolare riguardo allo studio della struttura delle molecole proteiche, alla previsione di ‘transizioni di fase’ nell’espressione genica e alle relazioni tra struttura chimica e attività biologica. Ha contribuito, insieme a Joseph Zbilut e Charles Webber dell’Università di Chicago allo sviluppo dell’Analisi Quantitative delle Ricorrenze (RQA), attualmente diventata un metodo standard per l’analisi non-lineare delle serie temporali.  

È autore di 489 pubblicazioni scientifiche su riviste internazionali ‘peer-review’ e di 10 libri di divulgazione.