ANDREW WILES, IL MARADONA DELLA MATEMATICA DI GIULIO CIRULLI (MATEMATICA)

MATEMATICA

 

Giulio Cirulli

Andrew Wiles, il Maradona della matematica

Andrew Wiles

 

Alle volte mi viene chiesto cosa mi appassioni tanto nella matematica.

In realtà, a questa domanda non so rispondere, non tanto perché non abbia una risposta, ma perché ci sarebbero molte risposte, una di queste è ad esempio che la matematica è piena di storie degne delle migliori epopee sportive.

Ed è proprio di una di queste storie che vorrei parlarvi in questo articolo.
Ovvero la storia di come Andrew Wiles negli anni ’90 riuscì a dimostrare l’ultimo teorema di Fermat.

Veramente è tanto prima.

Nel 2500 a.C.  (ve l’avevo detto che era veramente tanto    prima) a Babilonia, un illustre sconosciuto geometra babilonese, probabilmente per scopi agrimensori, scopre una delle relazioni matematiche più importanti di sempre, se non la più importante, ovvero che la somma dei quadrati costruiti sui due lati corti di un triangolo rettangolo (ossia i cateti) equivalgono al quadrato costruito sul lato lungo dello stesso triangolo (ossia l’ipotenusa).

Se per qualche motivo vi ha suonato un campanello leggendo questa relazione probabilmente è perché la conoscete sotto il nome di “Teorema di Pitagora”.

Questo perché Pitagora fu il primo, nel mondo occidentale, a dare una dimostrazione formale di questa relazione.

In simboli il teorema di Pitagora si riassume così “a²+b²=c²”, dove a, b e  c  sono numeri Naturali (ossia interi e positivi, il loro insieme si rappresenta così: N), questa equazione ammette infinite soluzioni per infiniti valori di a, b e c, queste terne di numeri sono dette “Terne Pitagoriche” e per l’appunto ne esistono infinite.

 

Tenete a mente quest’affermazione “Esistono infinite Terne Pitagoriche”.

 

Facciamo quindi un piccolo passo in avanti di circa ottocento anni e veniamo a Diofanto di Alessandria, detto anche il Padre dell’Algebra. Diofanto è famoso per aver sviluppato una classe particolare di equazioni, ossia quelle Diofantee, quelle caratterizzate dal fatto che ammettono soluzioni intere indifferentemente dal grado dell’equazione (ossia l’esponente massimo dell’equazione).

Una delle più famose è quella legata al suo epitaffio che recita:

 «Questa tomba rinchiude Diofanto e, meraviglia! dice matematicamente quanto ha vissuto. Un sesto della sua vita fu l'infanzia aggiunse un dodicesimo perché le sue guance si coprissero della peluria dell'adolescenza.  Dopo un altro settimo della sua vita prese moglie e dopo cinque anni di matrimonio ebbe un figlio.  L'infelice (figlio) morì improvvisamente quando raggiunse la metà dell'età che il padre ha vissuto. Il genitore sopravvissuto fu in lutto per quattro anni e raggiunse infine il termine della propria vita».  

In simboli x/6+x/12+x/7+5+x/2+4=x, il risultato è 84, in questo caso l’equazione è di primo grado.
Anche un’equazione del tipo x³+x=0 se ammette almeno una soluzione intera è detta Diofantea.

Abbiamo appena fatto le dovute premesse e veniamo a Pierre De Fermat, quindi un salto di circa 1400 anni avanti nel tempo. Pierre de Fermat  è stato uno dei più grandi e prolifici matematici del XVII secolo, la cosa interessante è che Fermat non era un matematico di professione ma un giurista (anche rinomato all’epoca) che per diletto si occupava in maniera molto proficua di matematica, a suo nome ci sono moltissime e interessanti dimostrazioni matematiche nei più svariati campi della matematica.

In ogni caso veniamo al suo enunciato più famoso:

«È impossibile scrivere un cubo come somma di due cubi o una quarta potenza come somma di due quarte potenze o, in generale, nessun numero che sia una potenza maggiore di due può essere scritto come somma di due potenze dello stesso valore». 

Questo enunciato Fermat lo scrisse sul bordo di una pagina della sua copia di “Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica” e aggiunse poco più sotto “Ho una dimostrazione di questo fatto ma il margine è troppo piccolo per contenerla”, proprio questa frase creò una delle più grandi caccia al tesoro in ambito matematico.

Veniamo all’enunciato e facciamo chiarezza se è vero che “a²+b²=c²” ammette infinte soluzioni[1], qualsiasi equazione della forma “aⁿ+bⁿ=cⁿ” con esponente n>2 non ammette alcuna soluzione in N.

Seppure banale come affermazione, considerati quanti numeri ci sono dopo 2, capite quale impresa si ritrovarono i matematici ad affrontare.

Nei successivi tre secoli i matematici di ogni nazione si diedero battaglia pur di risolvere questa congettura, dei passi furono fatti in avanti, incoraggianti ma sostanzialmente inconcludenti, Sophie Germain (una matematica che si fingeva uomo pur di veder validati i propri risultati), riuscì a risolvere il problema per n=5 e successivamente per ogni numero primo (numero divisibile solo per sé stesso e per 1, se vogliamo semplificare questi sono i capostipiti della loro famiglia di multipli) inferiore. a 100.

Un risultato importante perché una volta scoperto che un numero primo conferma questa congettura in maniera automatica tutti i suoi multipli confermeranno la congettura fatta da Fermat.

Il problema è che i numeri primi sono infiniti e infiniti sono numeri maggiori di 100.
Seppur importanti questi risultato furono tutte delle vittorie di Pirro, giacché – anche se qualcuno avesse dimostrato che tutti i primi sotto a un miliardo, un trilione, un quintilione etc. dimostravano la congettura – non avrebbe risolto in alcun modo il problema, ma avrebbe semplicemente fatto sorgere il sospetto che fosse vero.

Infatti, per quanto grande possa essere un quintilione (1 seguito da 18 zeri o da 30, magari questo sarà materiale di approfondimento in prossimo articolo) al confronto dell’infinità è praticamente pari a1.[2]

Nei secoli successivi vennero fatte enormi scoperte in ambito matematico che furono molto utili per la risoluzione come, per esempio, l’invenzione degli ideali[3], utili per la definizione delle forme Modulari, semplificando moltissimo, delle forme particolari in ambito topologico e algebrico dotate di infiniti piani e assi di simmetria all’interno del piano complesso.

Fra le molte scoperte fondamentali in campo algebrico troviamo le Curve Ellittiche, delle equazioni di diverso grado che legano tre o più punti nel piano[4] ad esempio y²=ax³+b.[5]-[6]

Queste curve furono studiate approfonditamente da due matematici Giapponesi, Taniyama e Shimura,
per anni, i quali svilupparono una congettura, la quale afferma “Ogni curva ellittica definita nell’insieme dei razionali[7], Q, equivale ad una forma modulare”. Questa importante scoperta, effettuata fra gli anni ‘50 e ‘60 del secolo scorso, passò in 

sordina sinché alla fine Andrew Weil alla fine degli anni ’60 non arrivò alla stessa conclusione. (Vi è una disputa sul fatto che Weil si appropriò della scoperta o ebbe la stessa intuizione).

Arriviamo dunque al vero protagonista della nostra storia Andrew Wiles, matematico inglese, il quale è un vero enfant prodige della matematica.

Sin da bambino Wiles aveva una passione smodata per la matematica, sicché intorno agli undici, dodici anni su un libro della Congettura di Fermat. Come tutti i bambini con grandi sogni Wiles si mise in testa che avrebbe risolto il problema che risultava insoluto da quasi trecento anni, del resto quell’enunciato era così semplice che agli occhi di un bambino non poteva che sembrare un problema semplice e soprattutto era assurdo che i più grandi matematici di sempre[8] non avessero trovato una soluzione.

Ma come tutti gli enunciati semplici difficilmente hanno una soluzione semplice.
Wiles si laureò in matematica con il massimo di voti e poi iniziò il dottorato di ricerca in matematica a Cambridge.

Durante il suo dottorato Wiles, contrariamente a quanto si potrebbe pensare, si occupò della Teoria di Iwasawa[9].

Nel 1985 Ken Ribet ottenne un importantissimo risultato per la progressione della risoluzione dell’Ultimo Teorema di Fermat. Ken Ribet ottenne come risultato che, se esistesse una curva ellittica che non ha una forma modulare associata, come affermato la congettura di Taniyama-Shimura, questa curva detta di Frey avrebbe avuto una equazione che confutava l’ultimo teorema di Fermat, ossia una equazione della forma aⁿ+bⁿ=cⁿ con n>2 con soluzione nell’insieme n.

Wiles lesse l’articolo e a quel punto mollò tutto e decise di dedicarsi completamente al problema di Fermat, piccolo problema aveva degli obblighi con l’università di Cambridge, tra cui quella di tenere alcune lezioni, Wiles sfrutta la cosa a suo favore creando un corso apposito per lavorare sul Teorema di Fermat.

Dopo poco tempo rimase con un solo studente che lo aiutò nei calcoli, Nick Katz.

Nei successivi sette anni Wiles faceva una vita praticamente ascetica, si occupava solo del teorema di Fermat e gli unici contatti umani erano relegati alla moglie e Katz.

Nel 1993 Wiles pubblicò un paper preprint. Aveva dimostrato che le curve ellittiche semistabili confermavano la congettura di Taniyama-Shimura e tramite le conclusioni di Ribet automaticamente il Teorema di Fermat.

Divenne il Maradona della matematica, fin quando lo stesso Katz non si accorse che nella incredibile dimostrazione monstre (200 pagine) vi era un errore nelle premesse.
Non era riuscito a formalizzare il sistema euleriano[10] alla base di tutta la dimostrazione.
Quando la notizia fece il giro fra i matematici partì lo sprint finale per formalizzare il sistema euleriano e quindi vedere il proprio nome legato alla risoluzione dell’ultimo teorema di Fermat.

Anche Wiles si gettò a capofitto nel problema e passò i successivi mesi nel tentativo di risolvere il problema, in maniera infruttuosa.

Ma che cos’è il genio? È fantasia, intuizione, colpo d'occhio e velocità d'esecuzione.
Wiles ebbe l’intuizione della vita e utilizzando la Teoria di Iwasawa eliminò il problema del sistema euleriano e dopo il sapiente controllo di Katz uscì con una seconda dimostrazione questa volta definitiva.

Avvenne nel 1995. E questa fu la beffa finale per Wiles, che aveva superato i quarant’anni.
Direte voi: «E che problema c’è?».

Il problema c’è se sei un matematico ambizioso, infatti il premio più importante in ambito matematico è la medaglia Fields[11], assegnata ogni quattro anni ai quattro matematici che hanno ottenuto i risultati più grandi nei diversi ambiti della matematica, piccolo dettaglio il premio è assegnato solo ai matematici che hanno raggiunto questi risultati prima di compiere i quarant’anni.
Questo perché fatta eccezione per qualche matematico[12].

Ma poco importa perché con il suo risultato riuscì a risolvere uno dei problemi matematici più importanti di tutti i tempi e aveva realizzato il sogno di una vita, diventando uno dei matematici più importanti dell’epoca moderna, nonché uno dei più fini, basti pensare che a quasi 30 anni dal suo risultato solo una manciata di matematici in tutto il mondo è in grado di comprendere a pieno tutta la potenza e i meccanismi della sua portentosa dimostrazione.

 

Una storia lunga trecento anni, che racchiude tutta la storia della matematica dai babilonesi a oggi che vive di una incredibile magia (almeno per me) degna del pathos di una delle più grandi imprese sportive di sempre, la doppietta di Maradona all’Inghilterra, con il più bel gol su azione di sempre e il più bel gol di mano mai fatto nella storia del calcio.

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[1] Ogni terna di numeri che naturali che verifica l’equazione a²+b²=c²  viene detta terna pitagorica, come ad esempio 3,4 e 5.

[2] Semplifico molto se prendiamo una banana e un uomo e li mettiamo in una stanza di 10 metri cubi l’uomo sarà molto più grande della banana, ma se prendiamo lo stesso uomo e la stessa banana e li mettiamo  nel bel mezzo del deserto e poi guardassimo il deserto dallo spazio sia l’uomo che la banana sarebbero talmente piccoli rispetto al deserto da essere uguali al nostro occhio (ossia invisibili) e lo stesso vale per 1 e un quintilione all’interno dell’insieme infinito dei Numeri Naturali visto nel complesso.

[3] Sottoinsiemi degli insiemi detti Anelli ossia definiti su due operazioni dette «somma» e “prodotto»  e dotati della proprietà commutativa  (non necessariamente la classica somma e il classico prodotto che ben conosciamo).

[4] Questa loro proprietà permette il loro utilizzo in crittografia.

[5] Non necessariamente queste equazioni determinano sul piano un’ellisse.

[6] Queste equazioni ammettono soluzioni intere, per cui queste equazioni appartengono alla classe delle equazioni diofantee.

[7] I numeri frazionari come n/m ¾, 1/7, ecc.

[8] Come, ad esempio, Eulero o Euler che dir si voglia.

[9] In algebra se un insieme è definito su due operazioni binarie dette “somma” e “prodotto”, esse non sono necessariamente dotate di proprietà commutativa. In questo caso si definiscono come anelli. Non entro nel dettaglio non entro più nel dettaglio per la complessità dell’argomento.

[10] Semplificando all’osso un sistema di equazioni differenziali di primo ordine.

[11] Nel 2018 è stata assegnata anche ad Alessio Figalli per i contributi alla teoria del trasporto ottimale e alle sue applicazioni alle equazioni alle derivate parziali, alla geometria metrica e alla probabilità.

[12] Come David Hilbert che diede un fondamentale contributo nella formalizzazione matematica della Relatività Generale tra il 1912 e 1915 superati i 60 anni.

GIULIO CIRULLI 

 BIONOTA 

Romano di Roma, appassionato di scienze, matematica, storia romana, medievale e storia delle

religioni. Non prende nulla seriamente se non le cose serie: Carbonara, Scienze e Numeri.

Diplomato all’istituto agrario e laureato in fisioterapia, insomma, braccia riabilitate per l’agricoltura.