La scala infinita. A proposito dei numeri ~ di Giulio Cirulli (MATEMATICA)

MATEMATICA

Giulio Cirulli

 

La scala infinita. A proposito dei numeri

 

 

Sono convinto che chiunque da bambino si sia chiesto “Qual è il numero più grande di tutti?” Non c’è un numero più grande, poiché ce ne sarà sempre uno più grande (per quanto grande uno possa immaginarlo).

 

Quando facevo la seconda o la terza elementare, mi hanno spiegato “i numeri con la virgola”. Mi ricordo che la maestra disse la seguente frase: «Fra un numero intero e l’altro ci sono infiniti numeri con la virgola».  Ricordo anche di aver alzato la mano e di aver chiesto: «Maestra Mariella, ma quindi i numeri con la virgola sono più infiniti di quelli interi?»

La maestra non mi rispose.

Solo molti anni dopo ho scoperto la risposta. E la risposta è: Dipende.

Dipende da cosa intendiamo con Numero con la virgola, che è una definizione vaga e non rigorosa.

 

Parliamo perciò di quella che io preferisco definire “scala infinita”

In matematica esiste un concetto fondamentale ossia quello di Insieme, ora la definizione rigorosa di insieme è la seguente “Un’insieme è una collezione di oggetti legati da un criterio univoco che permette di determinare se un dato oggetto ne faccia parte o meno.”

Vi risparmio gli esempi in quanto il focus dell’articolo sono gli insiemi numerici e l’ipotesi del continuo.

L’insieme numerico più semplice da concepire è quello dei Numeri Naturali, rappresentato dal simbolo N.

In questo insieme troviamo tutti i numeri positivi e interi, in alcuni casi vi è compreso lo 0[1]. Con  questi numeri possiamo contare oggetti, cioè assegnare un numero ad una quantità (sembra banale ma fidatevi che questo piccolo dettaglio sarà utile più avanti), fare addizioni e moltiplicazioni senza limitazioni di sorta e in determinati casi possiamo effettuare sottrazioni e divisioni, si dirà che tale insieme è chiuso rispetto all’addizione e alla moltiplicazione ma non rispetto alla sottrazione e alla divisione, questo perché qualsiasi addizione noi andremmo a fare comunque otterremo sempre un numero naturale e lo stesso vale per la moltiplicazione, mentre nel caso della sottrazione e della divisione vi sono situazioni in cui non otterremo un risultato in N, ad esempio se facciamo 5-7 non otterremo un risultato in N e lo stesso vale per 3 / 2. (Nel primo caso avremo un numero negativo e nel secondo caso un numero con la virgola).

A questo punto per non avere alcun tipo di limitazione rispetto alla sottrazione dobbiamo creare un nuovo insieme che includa i numeri negativi e creando l’insieme dei Numeri Interi, rappresentato dal simbolo Z[2] con questo stratagemma otteniamo un insieme che include tutti i numeri inferiori a 0 e ci apriremo alla possibilità dell’operazione di somma algebrica (ossia addizione e sottrazione) e diremo che l’insieme è chiuso rispetto a somma e moltiplicazione, ancora una volta però lasciamo fuori la divisione.

 

In questo ultimo caso sarà necessario introdurre l’insieme dei Numeri Razionali[3], rappresentato dal simbolo Q[4], da questa estensione possiamo finalmente svolgere tutte le quattro operazioni fondamentali senza alcun tipo limitazione. 

In ogni caso questi numeri razionali sono tutti quei numeri con la virgola con una espansione decimale (ossia i numeri dopo la virgola) finita e possono essere rappresentati da una frazione con numeratore e denominatore finiti, stesso vale per i numeri periodici, ossia con espansione decimale infinita ma che da un certo punto in poi si ripete sempre uguale all’infinita, anch’essi possono essere rappresentati da una frazione con numeratore e denominatori finiti.

Ma siccome i matematici hanno il brutto di vizio di divertirsi con cose senza alcun limite sono incappati in dei numeri abbastanza strani, ossia gli Irrazionali, tutti quei numeri con un’espansione decimale infinita senza alcun periodo, ne sono un esempio  o  o  (il numero della sezione aurea che equivale a ), salvo artifici come quello delle frazioni continue è impossibile rappresentare questi numeri con frazioni finite

Ma siccome i matematici hanno il brutto di vizio di divertirsi con cose senza alcun limite sono incappati in dei numeri abbastanza strani, ossia gli Irrazionali, tutti quei numeri con un’espansione decimale infinita senza alcun periodo, ne sono un esempio   o π  o 

 (il numero della sezione aurea che equivale a

), salvo artifici come quello delle frazioni continue è impossibile rappresentare questi numeri con frazioni finite[5]

L’insieme dei numeri razionali più quello degli irrazionali geera l’insieme dei Numeri Reali, rappresentato dal simbolo R.

Ah, finalmente abbiamo risolto tutti i problemi non ci servono ulteriori insiemi…E invece no, perché per esempio se teniamo conto della regola dei segni “+*+=*, -*+=-, -*-=+” le radici con indice[6] pari di numeri negativi non esistono, nei reali.

Ed ecco che i matematici introducono il concetto di unità immaginaria, rappresentata dal simbolo i (i= √-1), la somma di un numero immaginario e un numero reale, (potremo avere una cosa della serie 4+12i o +2,9i[7] genera i numeri complessi rappresentati dal simbolo C.

Esistono ulteriori insiemi definiti numeri ipercomplessi, per gli scopi del presente articolo non mi dilungherò oltre.

Una cosa che non ho specificato (ho atteso apposta) che ogni insieme è contenuto nel successivo.

N ⊆[8] Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C

Quindi N è meno infinito di Q. E invece no, perché hanno la stessa cardinalità. La cardinalità indica il numero di elementi di un insieme finito, successivamente questo concetto è stato esteso agli insiemi infiniti in cui semplicemente rappresenta la possibilità di poter “Contare” gli elementi di un insieme infinito.

Prendiamo i numeri Naturali, 0 è il primo elemento, 1 il secondo, 2 il terzo e così via, lo stesso possiamo farlo con i numeri Relativi e con i numeri Razionali, per quanto indefiniti possiamo comunque creare una relazione di ordine uno-a-uno fra un determinato elemento e la sua posizione nella “lista”, in sostanza tutti e tre gli insiemi hanno la stessa “Discontinuità”, ciò che differenzierà Q da Z e N è la “densità” (ossia lo spazio tra un elemento e l’altro).

Le cose diventano più complicate quando “saliamo” in R e C. Questi due insiemi hanno una cardinalità superiore ai tre precedenti, infatti non è possibile associare uno-a-uno una posizione ad un elemento del gruppo, in questo caso entrambi gli insiemi sono “continui” e infinitamente “densi”.  I due insiemi considerati sono equicardinali e non numerabili.

Questa affermazione si dimostra facilmente con il processo diagonale di Cantor, in pratica immaginiamo una tabella con colonne infinite e righe infinite, ad ogni riga troviamo un numero irrazionale (che essendo parte dell’insieme dei reali sappiamo essere infiniti e molto più numerosi e densi di quelli razionali) e disponiamo ogni singola cifra all’interno di una colonna specifica della nostra tabella infinita.

Se ora prendessimo una cifra dalla prima colonna e dalla prima riga, poi una cifra dalla seconda colonna e dalla seconda colonna e via fino alla colonna infinto e alla riga infinto, fatto ciò definiamo una regola[9] e modifichiamo ogni cifra evidenziata in base alla regola scelta, a questo punto avremmo ottenuto un nuovo numero irrazionale che non è presente nella lista della tabella, e potremmo ripetere questo procedimento quante volte vogliamo, con la regola che vogliamo otterremo sempre un nuovo numero irrazionale non presente nella lista.

In questa “folle” scalata all’infinito alla fine dell’800 il matematico Georg Cantor ha formalizzato la teoria degli insiemi e ha creato il concetto di Cardinalità di un insieme infinito.

Come detto in precedenza quello della Cardinalità è il concetto di “numerabilità”, ma nel caso di insiemi infiniti quindi composti da innumerevoli elementi come “numeriamo” gli elementi di un insieme? Con un tipo nuovo di numeri. I numeri Transfiniti.

Cercherò di semplificare il più possibile. Esistono due tipi di numeri transfiniti:

- Quelli ordinali rappresentati dal simbolo . Se immaginiamo i classici numeri naturali in realtà possiamo visualizzarli come degli insiemi matematici costituiti da n e ciò si scrive in matematichese così n= {0,1,2,3…n} in una scrittura del genere per rappresentare l’interezza di N si scrive così ₀= {0,1,2,3…}.

- Quelli cardinali rappresentati dal simbolo

 (si legge aleph ed è la prima lettera dell’alfabeto ebraico). In questo caso la nozione di numero cambia totalmente e determina piuttosto la densità dell’insieme che non tanto la sua dimensione. In questo caso N, Z, e Q hanno tutti la stessa cardinalità, cioè tutti e tre hanno la stessa densità, sono discontinui e soprattutto hanno lo stesso ordine di infinito, in questo caso si parlerà di un insieme a cardinalità

  gli insiemi R e C invece hanno una densità superiore e sono continui, pertanto, hanno un’infinità di ordine superiore rappresentata dal simbolo

.

 

E qui arriva la parte veramente curiosa della nostra storia.

George Cantor ad un certo punto si è chiesto tra

 e

 esista un

 intermedio, ossia se esista un caso particolare di un insieme che sia discontinuo ma non numerabile, questa affermazione si chiama “Ipotesi del Continuo”. Cantor dedicò la sua vita (e la sua sanità mentale) al problema. Il problema di fondo è che questa affermazione in base agli assiomi scelti per la teoria degli insiemi risulta falsa o vera.

Solo nel secolo successivo si ottenne un risultato abbastanza inquietante.

Il problema, stando all’assioma della scelta (in soldoni se prendiamo una collezione di insiemi e non vuoti e scegliamo da ognuno un solo elemento possiamo creare un nuovo insieme costituito dagli elementi degli altri insiemi) e gli assiomi di Zermelo-Fraenkel (una serie di assiomi che formalizza le basi della teoria degli insiemi), è indecidibile, ossia non può essere dimostrato vero né falso.

I due matematici che ottennero il risultato furono Kurt Gödel e Paul Cohen, il primo scoprì che l’Ipotesi del Continuo non poteva essere dimostrata falsa nonostante gli assiomi di Zermelo-Fraenkel, il secondo dimostrò che aggiungendo l’assioma della scelta non poteva essere dimostrata vera.

La cosa è molto interessante perché è una conferma del teorema di incompletezza di Gödel, il quale afferma che dato un linguaggio è impossibile dimostrarne i suoi assiomi utilizzando il medesimo linguaggio. (In realtà l’enunciato è molto più complicato di così, ma mi riprometto di spiegarmi meglio in un altro articolo).

 

In conclusione, la risposta che il piccolo Giulio avrebbe voluto, avrebbe dovuto essere «Sì e no. Dipende dal tipo di numeri con la virgola».

Ma la vera conclusione è che anche domande banali alle volte hanno risposte assolutamente non banali e che richiedono complicate astrazioni.

Da una semplice domanda apparentemente banale abbiamo viaggiato in un condominio, in cui ci sono infinite rampe di scale composte da infiniti scalini, ma dal momento che le rampe diventano salite (continuo), allora ci siamo chiesti se tra una rampa e una salita ci fosse una sorta di intermedio e alla fine abbiamo capito che, in base al modo in cui ci approcciamo alla rampa o alla salita, questo intermedio potrebbe esistere oppure non esistere.

 

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[1]In determinati contesti lo 0 non rientra nei Naturali

[2]Dal tedesco Zahl ossia “Far di conto”

[3]Dal latino Ratio

[4]Da Quoziente ossia il risultato di una divisione

[5]Qualcuno potrebbe osservare che il numero della sezione aurea ha una frazione finita, ma quella radice di 5 è anch’essa un numero irrazionale e il risultato è che poi ci si ritrova con una frazione continua su una frazione classica rendendo questa rappresentazione compatta impossibile.

[6]Il numeretto posto sul simbolo di radice che ci dice che radice dobbiamo estrarre.

[7]Essendo la i una unità differente rispetto a quelle classiche non sommeremo 4 a 12 ottenendo 16i, per la famosa storia con cui i professori ci tartassavano alle superiori “NON SI SOMMANO MELE E PERE”.

[8]Questo simbolo che sembra una U rovesciata con stanghetta indica che un dato insieme è incluso ed è sottoinsieme di un altro insieme.

[9]Con regola intendiamo un procedimento definito per modificare le cifre evidenziate ad esempio: aggiungiamo 1 ad ogni cifra evidenziata oppure sottraiamo 1 ad ogni cifra evidenziata oppure moltiplichiamo per 2 (e manteniamo solo l’ultima cifra del numero nel caso la moltiplicazione ecceda la decina come nel caso 6*2=12 prendiamo il 2) o ancora trasformiamo le cifre pari in dispari e viceversa etc.

GIULIO CIRULLI

 BIONOTA 

Romano di Roma, appassionato di scienze, matematica, storia romana, medievale e storia delle

religioni. Non prende nulla seriamente se non le cose serie: Carbonara, Scienze e Numeri.

Diplomato all’istituto agrario e laureato in fisioterapia, insomma, braccia riabilitate per l’agricoltura.