Circonferenze, cerchi, bellezza e probabilità ovvero: il Pi Greco (matematica) ~ di Giulio Cirulli - TECLAXXI

 MATEMATICA

Giulio Cirulli

Circonferenze, cerchi, bellezza e probabilità ovvero: il Pi Greco.

©Jacqueline Spaccini 2025

Sono sicuro che, se vi chiedessi di dirmi una formula geometrica, dopo avermi detto quella per l’area del quadrato e quella del suo perimetro, qualcuno se ne uscirebbe con «Raggio per Raggio per 3,14».

Ebbene quel 3,14… è il nostro protagonista, perché oggi è il Pi Day (il giorno del Pi Greco), questo perché gli americani, che, come al solito, sono un po’ eccentrici, hanno un proprio sistema di datazione, secondo il quale le date devono essere scritte così: MM/GG/AAAA. Perciò il 14 marzo è il 03/14 e ciò spiega perché si sia deciso di dedicare questa giornata alla costante matematica per eccellenza. Qualcuno propone anche il 7 luglio, perché la data sarebbe 22/7… che è la frazione che meglio approssima questa costante, ma diciamolo 03/14 suona meglio.

Ma ora parliamo delle sue proprietà:

- è un numero irrazionale, ossia non può essere rappresentato da una frazione, perciò la sua espansione decimale è infinita e non si ripete mai uguale a sé stessa.

- è un numero trascendente, ossia non può essere soluzione di una equazione polinomiale a coefficienti razionali (ossia numeri con espansione finita o che si ripete all’infinito) della forma  a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+…+a₁x+a_0.

- infine la sua proprietà più interessante, nonché più famosa, è quella di mettere in relazione il raggio di un cerchio con la sua circonferenza e la sua area.

Mentre la dimostrazione dell’irrazionalità di un numero è un’operazione abbastanza semplice, dimostrare che questo numero sia trascendente è molto molto più complicato, talmente complicato che, a dire il vero, abbiamo la prova della trascendenza soltanto per una manciata di numeri, tra i quali, per l’appunto, il nostro protagonista.

Torno su questa sua proprietà, perché unita alla terza proprietà fa sì che sia impossibile fare la quadratura di un cerchio, ossia ottenere un cerchio che abbia la stessa area di un quadrato solo mediante l’utilizzo di compasso e riga.

Questo era un problema nato in seno ai matematici greci e che fu risolto solo nell’ ‘800.

        Cercherò di riassumere la questione in breve e in termini semplici. 

    I matematici greci concepivano i numeri come segmenti, per cui l’addizione e la sottrazione (la somma algebrica) possono essere svolti semplicemente con la riga, mentre la moltiplicazione e la divisione necessitano anche di compasso.

            Ebbene, essendo il numero pi greco un numero trascendente, risulta impossibile ottenerlo mediante riga e compasso, partendo da un numero naturale o razionale. Questo succede perché non può essere ottenuto da un polinomio, e perché l’insieme dei razionali (che comprende anche i naturali) è chiuso rispetto alle quattro operazioni. Ciò significa che qualsiasi operazione effettuerò, otterrò sempre un numero razionale.

             Non è un caso quindi che, per indicare che qualcosa sia un risultato altamente improbabile, se non proprio impossibile, si suole usare la locuzione «la quadratura del cerchio».

In ogni caso il pi greco esce fuori di continuo in matematico, ad esempio la proprietà che due numeri a caso siano primi fra di loro è pari a 6/pi² (pari a circa il 60,4%) o ancora nell’identità di Eulero:

Ossia: questa appare come l’equazione più bella ed elegante in matematica, perché mette in relazione il numero di Nepero (e), l’unità immaginaria (i), il pi greco, l’unità e lo zero, ossia molti degli elementi e delle costanti più importanti della matematica.

Insomma, si tratta di un numero non banale. Persino Dante lo cita nel Paradiso, sia pure in modo indiretto, allorché parlando della quadratura del cerchio scrive:

                         «Qual è ‘l geomètra che tutto s’affige

per misurar lo cerchio, e non ritrova,

pensando, quel principio ond’elli indige, […]»

(canto XXXIII, vv. 133-135)

GIULIO CIRULLI

 

BIONOTA 

Romano di Roma, appassionato di scienze, matematica, storia romana, medievale e storia delle religioni. Non prende nulla seriamente se non le cose serie: Carbonara, Scienze e Numeri.

Diplomato all’istituto agrario e laureato in fisioterapia, insomma, braccia riabilitate per l’agricoltura.